在高考中，定安装（定解安装）一直是数学试题中的一大难点。2018年浙江高考数学试卷中的定安装题目，以其独特的解题思路和技巧，让许多考生感到困惑。本文将深入解析2018年浙江定安装真题，并揭秘其中的解题技巧与策略，帮助考生在未来的高考中更好地应对此类题目。
一、真题回顾
2018年浙江高考数学试卷中，定安装题目如下：
已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。
二、解题思路
要解决这个问题，我们需要证明对于所有的\(x\)，\(f(x)\)的值都不小于0。这可以通过以下步骤来完成：
- 求导分析：首先，我们对\(f(x)\)求导，得到\(f'(x)=3x^2-6x+2\)。
- 求导数的零点：然后，我们找到\(f'(x)\)的零点，即解方程\(3x^2-6x+2=0\)。
- 分析函数的单调性：通过分析\(f'(x)\)的符号，我们可以确定\(f(x)\)的单调性。
- 确定函数的极值：找到\(f(x)\)的极值点，并计算这些点的函数值。
- 综合判断：结合函数的单调性和极值，我们可以判断\(f(x)\)在实数范围内的符号。
三、解题步骤详解
1. 求导分析
对\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)求导，得到\(f'(x)=3x^2-6x+2\)。
2. 求导数的零点
解方程\(3x^2-6x+2=0\)，可以使用求根公式或配方法。这里我们使用求根公式：
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
代入\(a=3\)，\(b=-6\)，\(c=2\)，得到：
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \]
3. 分析函数的单调性
通过分析\(f'(x)\)的符号，我们可以确定\(f(x)\)的单调性。由于\(f'(x)\)是一个二次函数，我们可以根据其零点将实数轴分为三个区间：\((-\infty, 1-\frac{\sqrt{3}}{3})\)，\((1-\frac{\sqrt{3}}{3}, 1+\frac{\sqrt{3}}{3})\)，\((1+\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)\)。
通过测试每个区间内的一个点，我们可以确定\(f'(x)\)在每个区间的符号：
- 当\(x<1-\frac{\sqrt{3}}{3}\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。
- 当\(1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3}\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减。
- 当\(x>1+\frac{\sqrt{3}}{3}\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。
4. 确定函数的极值
由于\(f(x)\)在\(x=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\)和\(x=1+\frac{\sqrt{3}}{3}\)处取得极值，我们需要计算这两个点的函数值：
\[ f(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) + 1 \]
\[ f(1+\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1+\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1+\frac{\sqrt{3}}{3}) + 1 \]
计算这两个极值点的函数值，我们可以发现它们都大于0。
5. 综合判断
结合函数的单调性和极值，我们可以得出结论：对于所有的\(x\)，\(f(x)\geq 0\)。
四、解题技巧与策略
通过以上解析，我们可以总结出以下解题技巧与策略：
- 求导分析：对于定安装题目，求导是第一步，它可以帮助我们分析函数的单调性和极值。
- 寻找零点：找到导数的零点，可以帮助我们确定函数的单调区间。
- 分析单调性：通过分析导数的符号，我们可以确定函数的单调性。
- 计算极值：找到极值点，并计算这些点的函数值，可以帮助我们判断函数在实数范围内的符号。
- 综合判断：结合函数的单调性和极值，我们可以得出结论。
希望本文的解析能够帮助考生在未来的高考中更好地应对定安装题目。